 Der skizzierte Biegeträger mit
stückweise konstanter Biegesteifigkeit ist u. a. auf elastischen Federn gelagert. Das Gelenk am Punkt G kann keine Biegemomente übertragen. Die folgenden Zahlenwerte sollen verwendet werden:
a = 200 mm ; b = 700 mm ;
c = 190 mm ; d = 240 mm ;
e = 260 mm ; f = 280 mm ;
q
1 = 3 N/mm ;
F = 2 kN ; M = 200 Nm ;
EI1 = 6 · 109 Nmm2 ; EI2 = 12 · 10
9 Nmm2 ; EI3 = 109 Nmm2 ; c1 = 100 N/mm ; c2 = 50 N/mm .
Das nebenstehende Bild zeigt die gewählte Knotennummerierung (rot) und die Elementnummerierung.Als finites Element wird “Bend2D” (gerader Biegeträger) verwendet, das durch 3 Elementparameter beschrieben wird, jeweils in einer Zeile der Matrix der Element-Informationen:
Biegesteifigkeit EI, Linienlastintensität am Elementknoten 1, Linienlastintensität am Elementknoten 2 (Elementknoten 1 ist der in der Koinzidenzmatrix als erster
aufgeführte Knoten, für den Richtungssinn der Linienlast gilt: Wenn man von Elementknoten 1 nach Elementknoten 2 “wandert”, zeigen die Pfeilspitzen positiver Linienlasten nach links).
Als globales Koordinatensystem werden nach rechts bzw. oben positiv gerichtete Achsen mit dem Ursprung im Knoten 1
gewählt (darauf beziehen sich die Knotenkoordinaten und die Richtungen der Knotenkräfte, positive äußere Momenten drehen entgegen dem Uhrzeigersinn).
Das folgende MATLAB-Script baut das Berechnungsmodell auf und berechnet die Knotenverschiebungen mit der FEMSET-Interface-Routine
Femalg_m:
Neben den 5 “ Standard-Matrizen
” zur Beschreibung des Systems müssen hier zwei weitere definiert werden:
- In einer Matrix der Federsteifigkeiten
sc kann für jeden Knoten in einer Matrixzeile für jeden Knoten-Freiheitsgrad
die Federsteifigkeit eines elastischen Lagers festgelegt werden. Weil die Knoten des verwendeten Elements drei
Freiheisgrade haben (Horizontalverschiebung, Vertikalverschiebung, Biegewinkel), müssen drei Federsteifigkeiten in
jede Zeile eingetragen werden (horizontal bzw. vertikal wirkende Feder und Drehfeder). Entsprechend der Aufgabenstellung sind nur je eine vertikal wirkende Feder an den Knoten 5 und 8 eingetragen.
 In einer Matrix der identischen Verschiebungen
li kann festgelegt werden, welche Freiheitsgrade des gesamten Systems identische Ergebnisse haben sollen: Mit einer beliebigen positiven ganzen Zahl werden diese Freiheitsgrade
gekennzeichnet. Ein anderer Satz von identischen Verschiebungen kann auf gleiche Weise mit einer anderen positiven ganzen Zahl festgelegt werden. Auf
diese Weise können die vielfältigsten Verbindungselemente nachgebildet werden.
Hier wurde das Gelenk damit realisiert: Man beachte, dass für das Gelenk zwei
Knoten (mit gleichen Knotenkoordinaten) definiert wurden (3 und 4), die nicht miteinander verbunden sind (Element 2 wurde am Knoten 3, Element 3 am Knoten 4 angeschlossen, vgl. Koinzidenzmatrix
km). Nachträglich wurden dann Gleichheit der Vertikalverschiebungen (jeweils die 1 in li) festgelegt. Da aber für
den anderen Freiheitsgrad (Biegewinkel) diese Gleichheit nicht festgelegt wird, verhält sich der Doppelknoten wie ein Gelenk. Die im nebenstehenden Command
Window zu sehenden Ergebnisse zeigen die identischen Verschiebungen für die Knoten 3 und 4, aber unterschiedliche Biegewinkel.
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