Das Problem wird hier gelöst unter Verwendung des in FEMSET verfügbaren biegesteifen Elements für gerade Träger Bd2DKM (nebenstehendes Bild). Es hat
zwei Knoten-Freiheitsgrade (Verschiebung und Biegewinkel), die Lage eines Knotens wird durch nur eine Koordinate festgelegt.Weil die Elementlänge le aus
den Knotenkoordinaten berechnet werden kann, sind nur zwei Elementparameter (EI, ρA) erforderlich.Für die Aufgabenstellungen a und b wird das nachfolgende MATLAB-Script
verwendet, in dem zunächst das Berechnungsmodell aufgebaut wird. Die 3 Knoten 1, 2 und 3 liegen an den Punkten “Einspannung”, “Loslager” und “Masse
m”, Element 1 liegt zwischen Knoten 1 und 2, Element 2 zwischen Knoten 2 und 3. Für beide Elemente gelten die Elementparameter EI = 3000 Nm2 und ρA
= 3 kg/m. Am Knoten 1 sind beide Verformungen (Vertikalverschiebung und Biegewinkel) verhindert, am Knoten 2 nur die Vertikalverschiebung. An jedem
Knoten können eine Einzelmasse und ein Massenträgheitsmoment vorgegeben werden, hier ist nur am Knoten 3 die Masse m = 2 kg zu berücksichtigen.
 Mit der FEMSET-Interface-Routine
femeig_m wird in Zeile 10 die 1. (kleinste) Eigenkreisfrequenz des Systems berechnet, die in Zeile 11 als Grundfrequenz in das
Command Window ausgegeben wird. Diese kann verglichen werden mit dem exakten Wert, der bei der Aufgabe 32-8 berechnet wird:fexakt = 20,78 s
-1 . Trotz der recht groben Elementeinteilung ist das ermittelte Ergebnis praktisch exakt. Die Aufgabenstellung b ist mit dem MATLAB-Script problemlos zu erledigen, es
müssen nur in der Zeile 6 die beiden rhoA-Werte von 3 auf 0 geändert werden. Man erhält das Ergebnis fmasselos = 22,83 s -1 . Obwohl die auf die Länge verteilte Trägermasse größer ist als die Einzelmasse am Ende, ist ihr Einfluss auf die Grundfrequenz in diesem Fall recht klein. Diese Aussage gilt allerdings nicht allgemein.. Das nachfolgend zu sehende MATLAB-Script für die Aufgabenstellung c zeigt, dass die Realisierung einer variablen Anzahl von Elementen nicht nennenswert komplizierter ist: 
 In Zeile 9 wird die Anzahl der Elemente, in die der Träger unterteilt
werden soll, festgelegt, danach werden die Matrizen des Berechnungsmodells mit den entsprechenden Dimensionen aufgebaut. Der
femeig_m-Aufruf in Zeile 25 fordert nun die Berechnung der drei
kleinsten Eigenkreisfrequenzen und fordert zusätzlich die Eigenschwingungsformen ab. Diese werden von der Function draweigvecs gezeichnet. Im Command Window findet man die Eigenfrequenzen, in einem Graphik-Fenster die
Eigenschwingungsformen.
Die hier mit 20 Elementen berechneten Eigenfrequenzen sind praktisch exakt (Vergleich mit der exakten Lösung bei Aufgabe 32-8).In der nachfolgenden Tabelle sind die Ergebnisse für unterschiedlich
feine Elementeinteilung zusammengestellt. Man beachte, dass im Gegensatz zum elastostatischen Problem, bei dem die Finite-Elemente-Theorie des Biegeträgers die Biegetheorie exakt
abbildet, die Schwingungsberechnung immer nur Näherungslösungen liefert, weil die Eigenschwingungsformen der analytischen Lösung der Differenzialgleichung durch trigonometrische Funktionen und
Hyperbelfunktionen beschrieben werden, die durch die Polynomansätze der Finite-Elemente-Methode nur genähert werden.
n |
2 |
8 |
20 |
50 |
Exakte Lösung |
f1[s-1] |
20,781 |
20,779 |
20,779 |
20,779 |
20,779 |
f2[s-1] |
280,84 |
242,21 |
242,13 |
242,13 |
242,13 |
f3[s-1] |
713,97 |
404,36 |
403,95 |
403,94 |
403,94 |
|
Für den skizzierten Biegeträger mit konstantem Querschnitt berechne man
