Wegen der doppelten Symmetrie wird nur ein Viertel betrachtet. Dieses muss mit der halben Kraft F/2 belastet werden, gelagert werden die beiden Symmetrieschnitte so, dass
jeweils alle Verschiebungen senkrecht zurm Symmetrieschnitt verhindert werden.Das Problem wird hier gelöst unter Verwendung des in FEMSET verfügbaren Scheiben-Vierecks-Elements mit 8 Knoten (“16-Freiheitsgrad-Element” SV16), das auch gekrümmte Ränder haben kann (nebenstehendes Bild).
Die Scheibe wird mit einem Netz überzogen, das von der Function HoleNetSV16 aufgebaut wird (Zeile 6). Die Feinheit der Vernetzung wird druch die beiden Parameter nr
und ny in Zeile 3 festgelegt. Diese Function liefert für das
FEM-Berechnungsmodell die Koordinatenmatrix xy und die Koinzidenzmatrix km. Anschließend werden die Matrix der Elementparameter
ep (mit Dicke, Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl für jedes Element, Zeilen 11 bis 13), die Matrix der verhinderten Verschiebungen kr (Zeilen 19 und 20) und die Belastungsmatrix bk
(Zeile 22) aufgebaut:
Die Function draw2Dnet zeichnet das Berechnungsmodell (nachfolgend rechts die Graphikausgabe für ein Modell mit 450 Elementen), und die Interface-Routine zu FEMSET femalg_m löst es (Berechnung der Knotenverschiebungen).
Nach erfolgreicher Verschiebungsberechnung werden in der Function SpannungenSV16 die Spannungen berechnet. Ausgegeben werden in Zeile 30 die Spannungen σx, σy, τxy
und die Vergleichsspannung σV nach der Gestaltänderungshypothese für die Knoten im
vertikalen Symmetrieschnitt. Das nachfolgend links zu sehende Bild des Command Windows zeigt die Ausgabe für die sehr grobe Einteilung der Fläche in nur 32 Elemente:  
Man erkennt den zu erwartenden Effekt. Nach der groben Überschlagsrechnung “Kraft durch Fläche” käme man zu einer “mittleren Spannung” im vertikalen Symmetrieschnitt von σx
= - F / ((2h-2r)*t) = 40 N/mm2 . Tatsächlich zeigen die Ergebnisse dieser noch sehr groben Näherung Spannungswerte von +8,6 N/mm2 bis -117 N/
mm2. Dass der Punkt am oberen Rand des Ausschnitts den absolut größten Spannungswert hat, war zu erwarten. Dieser Punkt ist der kritische
Punkt der Scheibe, die Spannungswerte für diesen Punkt sind deshalb die Referenzwerte in der nachfolgenden Tabelle, in der einige Ergebnisse bei unterschiedlich feiner Vernetzung zu sehen sind:
nr |
ny |
Anzahl der Elemente |
Anzahl der Knoten |
σx |
8 |
4 |
32 |
121 |
-117,1 |
20 |
10 |
200 |
661 |
-115,6 |
40 |
20 |
800 |
2521 |
-115,3 |
80 |
40 |
3200 |
9841 |
-115,3 |
160 |
80 |
12800 |
38881 |
-115,3 |
Schon mit relativ grober Vernetzung sind die Ergebnisse stabil. Das Ergebnis darf im Rahmen der Theorie als exakt angesehen werden.
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Aufgabe:
