Elemente, die in FEMSET vordefiniert sind

FEMSET ist ein Finite-Elemente-”Baukasten”, der das Gerüst eines FEM-Solvers enthält, das beliebig erweitert werden kann, auch und besonders um neue Element-Typen. Es sind jedoch einige Elemente vordefiniert, so dass auch ohne Programmierung einer Element-Steifigkeitsbeziehung ein komplettes FEM-Programm erzeugt werden kann.

Element-Charakteristik

Ein finites Element wird in FEMSET durch vier charakteristische Zahlenwerte ("Element-Charakteristik") definiert und/oder durch eine Typnummer identifiziert. Wenn keine Typnummer angegeben ist, versucht FEMSET, den Typ aus der “Element-Charakteristik kx, kf, ke, kp” zu entnehmen:

• kx - Koordinaten pro Knoten (zulässige Werte: 1, 2 oder 3): Dieser Parameter legt fest, ob ein ein-, zwei oder dreidimensionales Problem mit dem Elementtyp behandelt werden kann.
   
• kf - Freiheitsgrade pro Knoten: Dieser Parameter bestimmt gemeinsam mit dem folgenden Parameter ke die "Qualität" des finiten Elements. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Knotens ist gleich der primär für diesen Knoten anfallenden Ergebnisse (Verschiebungen) und der für den Knoten vorgebbaren Knotenlasten.
   
• ke - Anzahl der Knoten pro Element.
   
• kp - Anzahl der vorzugebenden Elementparameter: Dies können geometrische Parameter (Querschnitt, Dicke, ...), Materialeigenschaften (Elastizitätsmodul, Querkontraktionszahl, thermischer Ausdehnungskoeffizient, Massebelegung, ...) oder Elementlasten (Linienlasten, Flächenlasten, Volumenlasten, Temperaturerhöhung, ...) sein. Es sind genau die Parameter, die für den Aufbau der Elementbeziehung erforderlich sind.

Es ist in der Regel (und für die vordefinierten Elementtypen immer) möglich, aus diesen 4 Werten den Elementtyp zu bestimmen.

Vordefinierte Elementtypen für elastostatische Berechnungen

• Ebenes Fachwerk-Element (Truss2D, Schlüsselnummer: 10):
  
                                   kx = 2 ,  kf = 2 ,  ke = 2 ,  kp = 1
  
  Die Elementsteifigkeitsmatrix für das ebene Fachwerk-Element mit zwei Knoten-Freiheitsgraden (Verschiebungskomponenten) findet man in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" auf Seite 187, sie wird in C-FEMSET in der Funktion fach2d_f.c aufgebaut. Dafür werden die Dehnsteifigkeit EA und geometrische Größen (der Winkel α und die Stablänge l_e) benötigt. Weil die geometrischen Größen aus den Knotenkoordinaten berechnet werden können, ist nur ein Elementparameter (kp = 1: EA) erforderlich.
   
• Ebenes biegesteifes Element (Bend2D, Schlüsselnummer: 15):
  
                                             kx = 1 ,  kf = 2 ,  ke = 2 ,  kp = 3
  
  Die Elementsteifigkeitsmatrix für das ebene biegesteife Element mit zwei Knoten-Freiheitsgraden ( Verschiebung und Biegewinkel) findet man in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" auf Seite 272, die Formeln für die Reduktion von Linienlasten auf Knotenlasten auf den Seiten 276 und 277). Diese Elementsteifigkeitsbeziehung wird in C-FEMSET in der Funktion bieg2d_f.c aufgebaut. Dafür werden die Biegesteifigkeit EI und die Linienlastintensitäten q₁ und q₂ an den beiden Elementknoten und die Elementlänge l_e benötigt. Weil die geometrischen Größen aus den Knotenkoordinaten berechnet werden können, sind nur drei Elementparameter ( kp = 3: EI, q₁, q₂) erforderlich.
   
• Ebenes biegesteifes elastisch gebettetes Element (Bd2DeB, Schlüsselnummer: 17):
  
                                             kx = 1 ,  kf = 2 ,  ke = 2 ,  kp = 4
  
  Die Elementsteifigkeitsmatrix für das ebene biegesteife elastisch gebettete Element mit zwei Knoten-Freiheitsgraden (Verschiebung und Biegewinkel) kann nach dem Algorithmus, der in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" im Abschnitt 33.5.3 beschrieben wird, hergeleitet werden. Die Formeln für die Reduktion von Linienlasten auf Knotenlasten findet man auf den Seiten 276 und 277. Die Elementsteifigkeitsbeziehung wird in C-FEMSET in der Funktion bg2deb_f.c aufgebaut. Dafür werden die Biegesteifigkeit EI, die Linienlastintensitäten q ₁ und q₂ an den beiden Elementknoten, die Bettungsziffer k und die Elementlänge l_e benötigt. Weil die geometrischen Größen aus den Knotenkoordinaten berechnet werden können, sind nur vier Elementparameter (kp = 4: EI, q₁, q ₂ , k) erforderlich.
   
• Ebenes biege- und dehnsteifes Rahmen-Element (Beam2D, Schlüsselnummer: 20):
  
                                             kx = 2 ,  kf = 3 ,  ke = 2 ,  kp = 4
  
  Die Elementsteifigkeitsmatrix für das ebene Rahmen-Element mit drei Knoten-Freiheitsgraden (zwei Verschiebungskomponenten und der Biegewinkel) findet man in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" auf Seite 281, die Formeln für die Reduktion von Linienlasten auf Knotenlasten auf Seite 282). Diese Elementsteifigkeitsbeziehung wird in C-FEMSET in der Funktion rahm2d_f.c aufgebaut. Dafür werden die Biegesteifigkeit EI, die Dehnsteifigkeit EA, die Linienlastintensitäten q₁ und q ₂ an den beiden Elementknoten und geometrische Größen (Winkel α und Stablänge l_e) benötigt. Weil die geometrischen Größen aus den Knotenkoordinaten berechnet werden können, sind nur vier Elementparameter (kp = 4: EI, EA, q₁, q₂) erforderlich.
   
• Räumliches Fachwerk-Element (Truss3D, Schlüsselnummer: 110):
  
                                                          kx = 3 ,  kf = 3 ,  ke = 2 ,  kp = 1
  
  Jedes Element hat zwei Knoten, jeder Knoten drei Freiheitsgrade (Verschiebungskomponenten). Die Element-Steifigkeitsbeziehung wird in C-FEMSET in der Funktion fach3d_f.c aufgebaut. Dafür werden die Dehnsteifigkeit EA und geometrische Größen benötigt. Weil die geometrischen Größen aus den Knotenkoordinaten berechnet werden können, ist nur ein Elementparameter (kp = 1: EA) erforderlich.
   
• Räumliches biege-, dehn- und torsionssteifes Rahmen-Element (Beam3D, Schlüsselnummer: 120):
  
                                                           kx = 3 ,  kf = 6 ,  ke = 2 ,  kp = 6
  
  Die Elementsteifigkeitsbeziehung für das 3D-Rahmen-Element mit sechs Knoten-Freiheitsgraden (drei Verschiebungskomponenten und drei Winkel)  wird in C-FEMSET in der Funktion rahm3d_f.c aufgebaut. Dafür werden der Elastizitätsmodul E, der Gleitmodul G, zwei Flächenmomente I_xx und I_yy (bezogen auf Hauptzentralachsen), das Torsionsträgheitsmoment I_t und die Querschnittsfläche A benötigt ( kp = 6).
   
• Ebenes Drei-Knoten-Scheibenelement SD6 (Plane3_6, Schlüsselnummer: 1036):
  
                                             kx = 2 ,  kf = 2 ,  ke = 3 ,  kp = 3
  
  Die Elementsteifigkeitsmatrix für das Drei-Knoten-Scheibenelement mit zwei Knoten-Freiheitsgraden (Verschiebungskomponenten) findet man in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" auf Seite 705, sie wird in C-FEMSET in der Funktion sd6_f.c aufgebaut. Dafür werden die (konstante) Elementdicke t, der Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl &ny;  und geometrische Größen benötigt. Weil die geometrischen Größen aus den Knotenkoordinaten berechnet werden können, sind nur drei Elementparameter (kp = 3 ) erforderlich.
   
• Ebenes Acht-Knoten-Scheibenelement SV16 (Plane4_16,
  Schlüsselnummer: 1416):
  
                                   kx = 2 ,  kf = 2 ,  ke = 8 ,  kp = 3
  
  Die Elementsteifigkeitsmatrix für das Acht-Knoten-Scheibenelement (isoparametrisches Element) mit zwei Knoten-Freiheitsgraden (Verschiebungskomponenten) findet man z. B. in "Dankert: Numerische Methoden der Mechanik (Springer-Verlag 1977)" auf den Seiten 206/207, sie wird in C-FEMSET in der Funktion sv16_f.c aufgebaut. Dafür werden die (konstante) Elementdicke t, der Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl &ny;  und geometrische Größen benötigt. Weil die geometrischen Größen aus den Knotenkoordinaten berechnet werden können, sind nur drei Elementparameter (kp = 3 ) erforderlich.
   
• Ebenes Sechs-Knoten-Element für die Torsionsberechnung TORSD6 (Tors3_6, Schlüsselnummer 2036):
  
                                   kx = 2 ,  kf = 1 ,  ke =6 ,  kp = 0
  
  Die Elementsteifigkeitsmatrix für das Sechs-Knoten-Element für die Torsionsberechnung mit einem Knoten-Freiheitsgrad findet man z. B. in "Dankert: Numerische Methoden der Mechanik (Springer-Verlag 1977)" auf der Seite 195, sie wird in C-FEMSET in der Funktion torsd6_f.c aufgebaut..

Vordefinierte Elementtypen für Schwingungsberechnungen

• Ebenes biegesteifes Element (Bd2DKM, Schlüsselnummer: 10015):
  
                                             kx = 1 ,  kf = 2 ,  ke = 2 ,  kp = 2
  
  Die Elementsteifigkeitsmatrix für das ebene biegesteife Element mit zwei Knoten-Freiheitsgraden ( Verschiebung und Biegewinkel) findet man in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" auf Seite 272, die Massenmatrix in “Dankert: Numerische Methoden der Mechanik” auf der Seite 163). Diese Elementbeziehung wird in C-FEMSET in der Funktion bg2dkm_f.c aufgebaut. Dafür werden die Biegesteifigkeit EI, die Massebelegung ρA und die Elementlänge l_e benötigt. Weil die geometrischen Größen aus den Knotenkoordinaten berechnet werden können, sind nur zwei Elementparameter (kp = 2: EI, ρA) erforderlich.
   
• Ebenes biege- und dehnsteifes Rahmen-Element (Bm2DKM, Schlüsselnummer: 10020):
  
                                             kx = 2 ,  kf = 3 ,  ke = 2 ,  kp = 3
  
  Die Elementsteifigkeitsmatrix für das ebene Rahmen-Element mit drei Knoten-Freiheitsgraden (zwei Verschiebungskomponenten und der Biegewinkel) findet man in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" auf Seite 281, die Massenmatrix in “Dankert: Numerische Methoden der Mechanik” auf der Seite 163). Diese Elementsteifigkeitsbeziehung wird in C-FEMSET in der Funktion rm2dkm_f.c aufgebaut. Dafür werden die Biegesteifigkeit EI, die Dehnsteifigkeit EA, die Massebelegung ρA und geometrische Größen (Winkel α und Stablänge l_e) benötigt. Weil die geometrischen Größen aus den Knotenkoordinaten berechnet werden können, sind nur drei Elementparameter (kp = 3: EI, EA, ρA) erforderlich.

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