Was ist eine Primzahl?

Die Primzahlen gehören seit Jahrtausenden zu den beliebtesten Themen der Mathematiker. Natürlich ist auch das WWW voll von unzähligen Seiten zu diesem Thema, weil es zahlreiche ungelöste Probleme und immer neue Rekorde (und auch sinnvolle praktische Anwendungen) zu vermelden gibt.

Anlässlich des “Primzahljahres” 2003 möchte ich nur auf einige aus meiner Sicht besondere Aspekte bzw. interessante Internet-Sites aufmerksam machen:

Es gibt keine größte Primzahl (die Menge der Primzahlen ist unendlich).

Diese (recht einfach zu beweisende) Aussage war wohl schon Euklid bekannt und regte natürlich den Ehrgeiz an, die jeweils “größte bekannte Primzahl” zu finden. Der gegenwärtige Rekord (Januar 2003) ist die Zahl

2^13466917 - 1

Diese 4.053.946-ziffrige Primzahl haben Michael Cameron, George Woltmann und Scott Kurowski aus Kanada im Jahre 2001 im Rahmen des GIMPS-Projekts gefunden (ich habe die Information von dieser Internetseite).

Der Rekord wurde am 15.12.2005 zum vierten Mal gebrochen: Die Rekordzahl ist nun die 9.152.052-ziffrigePrimzahl

2^30402457 - 1

... und dieser Rekord hielt nicht einmal ein Jahr. Die am 4. September 2006 gefundene neue Rekordzahl ist nun die
 9.808.358-ziffrige Primzahl

2^32582657 - 1 .

Neuer Rekord im Jahr 2008. Es ist die 11.185.272-ziffrige Primzahl

2^37156667 - 1 .

Neuer Rekord im Jahr 2009. Es ist die 12.978.189-ziffrige Primzahl

2^43112609 - 1 .

Ein “Primzahl-Pärchen” sind zwei Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt, z. B.: 11 und 13, 17 und 19, 29 und 31, 41 und 43, 59 und 61, 71 und 73 ...

Ob auch die Menge der “Primzahl-Pärchen” unendlich ist, konnte bisher weder bewiesen noch widerlegt werden.

Diese offene Frage führte selbstverständlich auch zu einer Rekordjagd nach dem jeweils “größten bekannten Primzahl-Pärchen”. Der gegenwärtige Rekord ist nach meiner Information das 100355-stellige Primzahl-Pärchen

65516468355 * 2³³³³³³ - 1 und  65516468355 * 2³³³³³³ + 1

(ich habe die Information von dieser Internetseite).

Nach dem “Palindromjahr” 2002 war das “Primzahljahr” 2003 ein besonderer Anlass, zumindest eine Bemerkung über die Zahlen zu machen, die beide Eigenschaften haben, die sogenannten “Prim-Palindrome” wie z. B.: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, ... , 71317 , ... , 13475431 , ...

Ob die Menge der Prim-Palindrome unendlich ist, konnte bisher weder bewiesen noch widerlegt werden.

Diese offene Frage lässt nur die Aussage über das “größte bekannte Prim-Palindrom” zu. Der gegenwärtige Rekord (2009) ist nach meiner Information die Zahl

10¹⁸⁰⁰⁰⁴ + 248797842 · 10⁸⁹⁹⁹⁸ + 1

Dass diese Zahl ein Palindrom ist, kann man leicht nachvollziehen: Die 1 an der Spitze der 180.004-ziffrigen Zahl findet ihr Spiegelbild in der 1 am Ende, die übrigen Ziffern sind Nullen bis auf die spiegelbildliche Ziffernfolge 248797842 in der “Mitte”. Dass es eine Primzahl ist, wird auf dieser Internetseite behauptet).

Auf einen Brief des preußischen Mathematikers Christian Goldbach an Leonhard Euler geht ein bis heute ungelöstes Problem zurück, bekannt in der Zahlentheorie als

Goldbachsche Vermutung: Jede gerade Zahl größer als 5 lässt sich als Summe zweier Primzahlen aufschreiben.

Beispiele:     12 = 5 + 7     ;      50 = 3 + 47 = 7 + 43 = 13 + 37 = 19 + 31 .

Die beiden Beispiele verdeutlichen schon, dass bei größeren Zahlen die Wahrscheinlichkeit wächst, eine Lösung zu finden, weil es mehr Möglichkeiten gibt, die Zahl aus zwei Summanden zusammenzusetzen. Es ist also mehr als wahrscheinlich, dass die Goldbachsche Vermutung richtig ist, zumal der Mathematiker Jörg Richstein von der Universität Gießen 1998 mit aufwendiger Computer-Rechnung für alle geraden Zahlen bis 4 * 10¹⁴ Lösungen gefunden hat.

Aber ein Beweis ist das natürlich nicht. Dieser fehlt bis heute, obwohl ein britischer Verlag ein Preisgeld von 1 Million Dollar dafür ausgelobt hat.

Über viele Jahrhunderte waren die Primzahlen eines der beliebtesten Spielobjekte der Zahlentheoretiker. Seit einigen Jahren finden sie eine immer wichtiger werdende Anwendung in der

Kryptologie (Ver- und Entschlüsselung von Texten):

Es werden zwei sehr große Primzahlen erzeugt (in der Regel mehr als 150-stellig, dazu brauchen moderne Computer nur wenige Sekunden). Diese dienen als streng geheime “Private Keys”. Ihr Produkt kann als sogenannter “Public Key” durchaus bekannt gemacht werden, weil die Primzahlzerlegung einer so großen Zahl (und damit das Ermitteln der “Private Keys”) auch mit den schnellsten Computern in angemessener Zeit nahezu ausgeschlossen ist. Wie unter Verwendung dieser Schlüssel spziell das gegenwärtig wohl meistverwendete RSA-Verfahren besonders sicher arbeitet (und zum Beispiel auch das wohl größte Sicherheitsproblem - den Transport der Schlüssel vom Sender zum Empfänger - umgeht), wird z. B. auf folgenden Seiten beschrieben:

http://home.nordwest.net/hgm/krypto/
http://www.sias.de/kryptologie-rsa.html
... und in dem Vorlesungsskript “Einführung in die Kryptologie” (PostScript bzw. PDF als zip-Dateien) meines Kollegen Prof. Dr. Reinhard Völler (Vorsicht, wenn in der Überschrift “Einführung” steht, heißt das nicht “einfach”).

Von den zahllosen Internetsites, die sich mit den verschiedensten Aspekten der Theorie der Primzahlen (und zum Teil sehr interessanten weiteren Themen der Zahlentheorie) beschäftigen, empfehle ich folgende

Links, die man sich einmal ansehen sollte:

http://www.worldofnumbers.com
http://primes.utm.edu
http://www.primzahlen.de
... und von diesen Links zu unzähligen weiteren interessanten Seiten.
 

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nkert.de