Ableitung einer Funktion

Für eine bereits definierte Funktion fun1 kann eine neue Funktion fun2 als (erste bis maximal vierte) Ableitung dieser Funktion gebildet werden. Die Definition einer Funktion fun2, die die erste Ableitung von fun1 sein soll, muss mit der Syntax

fun2 = fun1'

über das (gelbe) Eingabefeld eingegeben werden (mit Klick auf den Button "Funktion" oder mit Enter wird die Eingabe abgeschlossen). Höhere Ableitungen werden mit fun1'', fun1''' bzw. fun1'''' definiert. Abgeleitet wird nach der jeweils gültigen unabhängigen Variablen.

Man beachte, dass auf der rechten Seite NICHT wie bei einer normalen Funktionsdefinition ein arithmetischer Ausdruck stehen darf. Das ist keine Einschränkung der Allgemeinheit, weil die neue Funktion in weiteren Funktionsdefinitionen in beliebigen arithmetischen Ausdrücken erscheinen darf.

Hinweis: Differenziert wird numerisch unter Verwendung der zentralen Differenzenformeln. Als Schrittweite h, mit der in diesen Formeln die Funktionswerte von Nachbarpunkten berechnet werden, wird ein halber Intervallschritt der unabhängigen Variablen verwendet. Mit den voreingestellten Werten wird also mit

h = 0.5 * (xEnd - xAnf) / nSteps = 0.5 * 10 / 100 = 0.05

gerechnet. Das Ergebnis ist also nur eine Näherung mit der Genauigkeit, die diese Formeln liefern können. Über eine Änderung des Wertes für nSteps kann die Genauigkeit beieinflusst werden.

Rollendes Rad

Beispiel: Im Kapitel 26 des Buchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" findet man die folgende Aufgabe:

Ein Rad mit dem Radius R rollt (ohne zu gleiten) mit der konstanten Geschwindigkeit v0 auf der Horizontalen. Für einen Punkt A im Abstand a vom Radmittelpunkt soll die Bahngeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit ermittelt werden.

Hinweis: Man findet die komplette Behandlung dieser Aufgabe auch im Internet (einschließlich einer Animation der Bewegung). Dort wird auch das Bewegungsgesetz angegeben:

Bewegungsgesetz

Die beiden Geschwindigkeitskomponenten ergeben sich als Ableitung der Koordinaten x und y nach der Zeit t, die sich dann folgendermaßen zur Bahngeschwindigkeit zusammensetzen lassen:

Bahngeschwindigkeit

Nachfolgend soll die Funktion v(t) für eine komplette Umdrehung des Rades dargestellt werden unter Verwendung der Parameter R = 3 m, a = 6 m und v0 = 1 m/s. Eine komplette Umdrehung des Rades ist nach der Zeit tend = 2πR/v0 erreicht.

Nachdem zunächst die drei Konstanten R = 3, a = 6 und v0 = 1 definiert wurden und die unabhängige Variable auf t umbenannt wurde, werden die beiden Funktionen x und y entsprechend der oben angegebenen Formeln definiert, zusätzlich die Funktionen xp = x' ("x-Punkt") und yp = y' ("y-Punkt") als Ableitungen von x bzw. y und schließlich die Funktion für die Bahngeschwindigkeit v = sqrt(xp^2+yp^2).

Die Grenzen der unabhängigen Variablen wurden auf tAnf = 0 bzw. tEnd = 2*pi*R/v0 geändert (kann genau in dieser Form eingegeben werden, das Programm berechnet automatisch den Zahlenwert). Die "Häkchen" vor der Liste der Funktionen werden bis auf eines entfernt (nur v soll dargestellt werden), und aus dem Angebot "Aktionen mit Funktionen" wird "Grafische Darstellung" gewählt:

Ergebnis

Für diese einfache Aufgabe kann man natürlich die Funktion v(t) auch noch analytisch "von Hand" erzeugen. Man erhält:

Bahngeschwindigkeit analytisch

Es bietet sich an, diese Funktion zusätzlich als Kontrolle für die numerisch ermittelte Funktion graphisch darzustellen. Sie ist im folgenden Bildschirm-Schnappschuss als als va ("v-analytisch") zu sehen:

Darsstellung zweier Kurven

Darstellung zweier Funktionen, aber nur eine ist zu sehen: Ein sicheres Indiz für die Richtigkeit der Rechnung


Es wird NICHT zwischen Groß- und Kleinbuchstaben unterschieden (PI, pi, Pi oder pI sind gleichwertig). Die Umlaute und das ß sind nicht erlaubt. Gültige Namen sind zum Beispiel:

Alpha, y, x3, Laenge, v_gesamt.
ZAHLEN können (optional) ein Vorzeichen, einen Dezimalpunkt und einen Exponenten (gegebenenfalls auch mit einem Vorzeichen) enthalten, Beispiele korrekter Zahlen:

-2.1E-5     5120     .3125     0.001
Definition einer Konstanten mit der Syntax

Name = Arithmetischer Ausdruck

Konstanten werden berechnet und mit Namen und Wert im Konstantenspeicher für die weitere Verwendung bereitgestellt.

Beispiel: k1 = pi^2 / 4
Es existiert für die Verwendung in Funktionen immer genau eine unabhängige Variable mit einem Namen und einem aktuellen Wert, der nur für den Syntaxcheck bei der Eingabe von Funktionen verwendet wird (Voreinstellung: x = 0, Name und Wert dürfen beliebig geändert werden).
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