Extremwerte

Die Extremwertbestimmung kann für ein oder mehrere Funktionen gleichzeitig durchgeführt werden. Sie kann gekoppelt werden mit der Ausgabe einer Wertetabelle, der Suche nach Nullstellen und über das Angebot "Grafik, spezielle Punkte" mit einer Grafik und der Nullstellenberechnung.

Starteinstellung

Die Extremwertbestimmung erfolgt numerisch. Der eingestellte Bereich (rechts sieht man die Voreinstellung beim Programmstart) wird mit nSteps äquidistanten Schritten nach einem Vorzeichenwechsel des Anstiegs durchsucht. Wird eine solche Änderung des Anstiegs gefunden, wird der Extremwert iterativ ermittelt.

Es ist immer empfehlenswert, auch die graphische Darstellung der Funktion anzufordern.

Stab wird in Feder eingehängt

Beispiel: Im Kapitel 33 des Buchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird die nebenstehend skizzierte Aufgabe behandelt: Ein Stab (Masse m, Länge l) wird in eine Feder (Federzahl c, Länge der entspannten Feder l0) eingehängt. Gefragt wird nach den möglichen Gleichgewichtslagen, die durch den Winkel β beschrieben werden sollen (hier findet man die komplette Rechnung für diese Aufgabe).

Es wird gezeigt, dass Gleichgewichtslagen nur für die β-Werte möglich sind, für die die Funktion

Normierte potenzielle Energie

relative Extremwerte annimmt. Diese werden nachfolgend berechnet, wobei für die physikalischen Eigenschaften von Stab und Feder die Werte cl/(mg) = 1 bzw. l0/l = 1 angenommen werden. Nachdem zunächst die beiden Konstanten cldmg = 1 ("cl durch mg") und l0dl = 1 ("l0 durch l") definiert wurden und nach Umbenennung der unabhängigen Variablen in beta, wurde die Funktion U definiert. Der zu untersuchende Bereich wurde auf β = 0 ... 360° eingestellt, deshalb wird (oben links) die Interpretation der Winkelfunktionen von "Radian" auf "Grad" umgestellt.

Der linke Teil des Bildschirms sieht dann wie folgt aus:

Eingabe komplett

 

Ergebnis

Aus dem Angebot "Aktionen mit Funktionen" wird "Grafik, spezielle Punkte" gewählt. Nebenstehend sieht man das Ergebnis. Die Grafik zeigt, dass es vier Extremwerte gibt. In der Tabelle unten findet man die Ergebnisse.

Für Interessenten: Es gibt tatsächlich vier mögliche Gleichgewichtslagen, von denen allerdings nur zwei stabil sind. Auch diese Entscheidung kann mit Hilfe der Funktion U(β) getroffen werden. Relative Minima lassen auf stabile, relative Maxima auf labile Gleichgewichtslagen schließen. Die kleinen Bildchen unten zeigen symbolisch die Gleichgewichtslagen: Stabil sind nur die Lagen β01 und β03. Man kann sich gut vorstellen, dass die stark gedehnte bzw. stark zusammengedrückte Feder bei den beiden anderen Gleichgewichtslagen dafür sorgt, dass die geringste Abweichung von dieser Lage sofort zum Übergang in eine der stabilen Lagen führt.

Stabile und instabile Gleichgewichtslagen
Es existiert für die Verwendung in Funktionen immer genau eine unabhängige Variable mit einem Namen und einem aktuellen Wert, der nur für den Syntaxcheck bei der Eingabe von Funktionen verwendet wird (Voreinstellung: x = 0, Name und Wert dürfen beliebig geändert werden).
Definition einer Konstanten mit der Syntax

Name = Arithmetischer Ausdruck

Konstanten werden berechnet und mit Namen und Wert im Konstantenspeicher für die weitere Verwendung bereitgestellt.

Beispiel: k1 = pi^2 / 4
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