Hilfe (Analyse von Funktionen)

Eingabefeld

Funktionen werden mit der Syntax

Name = Arithmetischer Ausdruck

im (gelben) Eingabefeld definiert (mit Klick auf den entsprechenden Button oder mit Enter wird die Eingabe abgeschlossen).

Nachfolgend sind die wichtigsten Informationen zur Bedienung des Programms alphabetisch zusammengestellt. Bei Klick auf die unterstrichenen hellblauen Stichworte öffnet sich jeweils ein Fenster mit ausführlichen Zusatzinformationen.

Die Ableitung einer Funktion wird numerisch mit den zentralen Differenzenformeln realisiert. Die Syntax und ein Beispiel findet man auf der speziellen Seite "Ableitung einer Funktion".

Auswahlliste Aktionen mit Funktionen können aus der Auswahlliste (in der linken Spalte) ausgewählt werden (rechts sieht man die aufgeklappte Liste mit den Angeboten). Die Aktionen beziehen sich immer auf die Funktionen, die in der Anzeige des Funktionenspeichers (unterer Bereich der mittleren Spalte) durch das "Häkchen" in der Checkbox gekennzeichnet sind.

Anisotrop/isotrop, siehe Skalierung.

Einstellung Radian/Grad Die Ergebnisse der Arcusfunktionen asin, acos, atan und acot können in Grad (°) oder Radian (Bogenmaß) abgeliefert werden. Dies wird über die Radiobuttons links oben eingestellt (Standardeinstellung ist Radian, siehe nebenstehendes Bild).

Ein Arithmetischer Ausdruck darf Zahlen, öffnende und schließende Klammern ([{}]), die Symbole für die vier Grundrechenarten + - * / und das Potenzieren ^, die Namen bereits definierter Konstanten, Standardfunktionen (mit Argumenten in Klammern), bei Funktions-Definitionen zusätzlich den Namen der unabhängigen Variablen und andere VORAB definierte Funktionen enthalten. Hier findet man ausführlichere Informationen und Beispiele.

Registerkarten Auswertung von Formelsätzen (nebenstehend zu sehender Reiter einer Registerkarte), siehe Formelsätze auswerten.

Bereichsweise definierbare Funktionen wie zum Beispiel Biegelinien, Biegemomenten- und Querkraftverläufe können einzeln definiert und dann zu einer Funktion addiert werden, wobei sie mit der "Abschaltfunktion" swoff und der "Anschaltfunktion" swon so multipliziert werden müssen, dass sie jeweils nur in dem Bereich einen Beitrag liefern, der ihrem Gültigkeitsbereich entspricht. Ein anschauliches Beispiel findet man auf der Seite "Funktionen, die bereichsweise definiert sind".

Bereich für Wertetabelle Extremwerte ist eine mögliche Auswahl in der Auswahlliste "Aktionen mit Funktionen" (kann mit Ausgabe einer Wertetabelle, mit Nullstellenberechnungen und graphischer Ausgabe der Funktionen gekoppelt werden). Es werden alle Extremwerte in dem Bereich gesucht, der durch Anfangs- und Endwert der unabhängigen Variablen festgelegt ist (rechts sieht man die Standardeinstellung für den Bereich).

Die Extremwertberechnung erfolgt numerisch und beginnt immer mit der Suche nach einem Vorzeichenwechsel des Anstiegs. Deshalb hat die Angabe nSteps eine gewisse Bedeutung, weil der zu untersuchende Bereich in nSteps Schritten auf Vorzeichenwechsel des Anstiegs untersucht wird. Deshalb sollte nSteps nicht so klein sein, dass eventuell zwei Extremwerte (Minimum und Maximum) der Funktion übersprungen (und damit übersehen) werden.

Die Extremwertsuche wird für alle Funktionen durchgeführt, die in der Anzeige des Funktionenspeichers (unterer Teil des mittleren Bildschirmbereichs) mit einem "Häkchen" gekennzeichnet sind. Ausführlichere Informationen zur Extremwertsuche und ein Beispiel findet man hier.

Registerkarten Formelsätze auswerten ist ein spezieller Programmbereich, den man über das Anklicken des entsprechend beschrifteten Reiters der Registerkarte erreicht. Beim Wechsel in diesen Bereich bleiben die definierten Konstanten erhalten, auf die definierten Funktionen kann im Bereich "Formelsätze auswerten" nicht zugegriffen werden (ihre Definitionen sind nicht sichtbar, bleiben aber für einen Wechsel zurück zu "Funktionen analysieren" erhalten). Im Programmbereich "Formelsätze auswerten" wird eine separate Hilfeseite angeboten.

Funktionen werden (wie Konstanten) mit der Syntax Name = Arithmetischer Ausdruck definiert (Beispiel: y = x * tan(x)), die Definition wird mit Klick auf den Button "Funktion" oder mit der Enter-Taste abgeschlossen. Der arithmetische Ausdruck enthält in der Regel auch die unabhängige Variable. Der Syntaxcheck wird unter Benutzung des für die unabhängige Variable angezeigten Werts durchgeführt, auch bei erkanntem Fehler (siehe hierzu: Syntaxcheck) wird die Funktion im Funktionenspeicher abgelegt (wird im unteren Bereich der mittleren Spalte des Bildschirms angezeigt). Eine Funktion kann geändert werden, indem eine Funktion gleichen Namens noch einmal definiert wird. Sie kann auch im entsprechenden Feld des Funktionenspeichers editiert werden. Weitere Informationen mit einem Beispiel findet man hier.

Ein Funktionensatz besteht aus mehreren Funktionen. Jede Funktion darf in ihrer Definition andere Funktionsnamen enthalten. Dabei ist auf die Reihenfolge zu achten: In einer Funktionsdefinition dürfen nur die Namen von VORAB definierten Funktionen enthalten sein. Auf diese Weise können komplizierte Funktionsdefinitionen vermieden werden. Sinnvoll ist die Definition eines Funktionensatzes, dessen letzte Funktion die eigentlich interessierende ist, die dann auch nur zur Auswertung vorgesehen wird. Dies wird hier an einem Beispiel demonstriert.

Verwalten von Funktionen Funktion löschen (nebenstehend zu sehender Button mit der Aufschrift "Funktion löschen"), siehe Löschen von Funktionen.

Verwalten von Funktionen Funktion verschieben (nebenstehend zu sehender Button mit der Aufschrift "Funktion ↑"), siehe Verschieben einer Funktion.

Grad/Radian, siehe Winkelfunktionen bzw. Arcusfunktionen.

Die Grenzen für die Ordinatenwerte sind ausschließlich für die grafische Darstellung der Funktionen vorgesehen (und können natürlich beliebig verändert werden). Links sieht man die voreingestellten Standardwerte.

Im Regelfall wird der darzustellende Bereich automatisch so eingestellt, dass die Zeichenfläche optimal genutzt wird. Dies würde bei Funktionen mit Polstellen zu unschönen Bildern führen. In solchen Fällen greifen dann die Unter- bzw. Obergrenze für die Ordinatenwerte. Rechts sieht man die Grafik der Funktion y = x tan x mit mehreren Polstellen im dargestellten Bereich, bei der die Begrenzung in y-Richtung wirksam wird.

Isotrop/anisotrop, siehe Skalierung.

Konstanten werden (wie Funktionen) mit der Syntax Name = Arithmetischer Ausdruck definiert (Beispiel: k1 = pi^2 / 4), die Definition wird mit Klick auf den Button "Konstante" abgeschlossen (eine andere Möglichkeit wird weiter unten beschrieben). Der Wert des arithmetischen Ausdrucks wird berechnet, und die Konstante wird mit Namen und Wert im Konstantenspeicher für die weitere Verwendung bereitgestellt. Der Wert einer Konstanten kann geändert werden, indem eine Konstante gleichen Namens noch einmal definiert wird.

Oft ist es bequemer (um die Finger bei der Eingabe von Konstanten und Funktionen nicht von der Tastatur nehmen zu müssen), wenn man an die Definition einer Konstanten ein Semikolon anhängt, um die Eingabe dann mit der Enter-Taste abschließen zu können (Beispiel: K1 = pi^2/4; ist eine Konstanten-Definition, Gleichzeitige Definition von 3 Konstanten die mit Enter abgeschlossen werden kann). Das Semikolon ist das Unterscheidungsmerkmal zur Funktions-Definition. Durch Semikolon getrennt (und abgeschlossen), können auch mehrere Konstanten gleichzeitig definiert werden (nebenstehendes Bild zeigt das Eingabefeld, mit dem die Konstanten k1, k2 und k3 definiert werden).

Verwalten von Funktionen Löschen von Funktionen wird durch Anklicken des nebenstehend zu sehenden Buttons mit der Aufschrift "Funktion löschen" realisiert. Dabei werden (nach Rückfrage) alle (mit dem "Häkchen") gekennzeichneten Funktionen (unwiderruflich) gelöscht.

Ein Name darf Buchstaben, Ziffern und den Unterstrich enthalten und muss mit einem Buchstaben beginnen, zum Beispiel: Alpha, y, x3, Laenge, v_gesamt. Es wird NICHT zwischen Groß- und Kleinbuchstaben unterschieden (PI, pi, Pi oder pI sind gleichwertig). Die Umlaute und das ß sind nicht erlaubt. Jede Funktion und jede Konstante muss durch einen eindeutigen Namen zu identifizieren sein.

Bereich für Wertetabelle Nullstellen ist eine mögliche Auswahl in der Auswahlliste "Aktionen mit Funktionen" (kann mit Ausgabe einer Wertetabelle, mit Extremwertberechnungen und grafischer Ausgabe der Funktionen gekoppelt werden). Es werden alle Nullstellen in dem Bereich gesucht, der durch Anfangs- und Endwert der unabhängigen Variablen festgelegt ist (rechts sieht man die Standardeinstellung für den Bereich).

Die Nullstellensuche erfolgt numerisch und beginnt immer mit der Suche nach einem Vorzeichenwechsel. Deshalb hat die Angabe nSteps eine gewisse Bedeutung, weil der zu untersuchende Bereich mit nSteps Schritten auf Vorzeichenwechsel untersucht wird. Deshalb sollte nSteps nicht so klein sein, dass eventuell zwei Vorzeichenwechsel der Funktion übersprungen (und damit übersehen) werden. Man beachte, dass mit dieser Strategie auch doppelte Nullstellen (Extremwerte mit dem Funktionswert Null) nicht gefunden werden. Will man auch diese ermitteln, sollte das Angebot "Graphik, spezielle Punkte" gewählt werden.

Die Nullstellensuche wird für alle Funktionen durchgeführt, die in der Anzeige des Funktionenspeichers (unterer Teil des mittleren Bildschirmbereichs) mit einem "Häkchen" gekennzeichnet sind. Ausführlichere Informationen zur Nullstellensuche und ein Beispiel findet man hier.

Funktion in Parameterdarstellung Eine Funktion in Parameterdarstellung wird durch zwei Funktionen beschrieben, die von der gleichen unabhängigen Variablen (z. B.: t) abhängig sind, zum Beispiel: x(t) ; y(t). Auch auf diese Funktionen können alle Angebote der Auswahlliste "Aktionen mit Funktionen" angewendet werden. Als grafische Darstellung möchte man jedoch im Regelfall die Funktion y(x), die auf diese Weise beschrieben wird, sehen.

Dies wird realisiert, indem man vor der Eingabe der Funktionen die unabhängige Variable auf t umstellt, dann die Funktionen x(t) und y(t) eingibt und vor der Auswahl "Grafische Darstellung" die Funktion x als "Abszisse für Grafik" einstellt (Anklicken des entsprechenden "Radiobuttons"). Rechts sieht man dies und die zugehörige Grafik für die durch x = sin (3 t) ; y = sin (4 t) definierte Funktion.

Ausführlichere Informationen zur Parameterdarstellung von Funktionen und ein etwas umfangreicheres Beispiel findet man hier.

Funktion, die in Polarkoordinaten definiert ist Für eine in Polarkoordinaten gegebene Funktion r = r(φ) können alle Angebote der Auswahlliste "Aktionen mit Funktionen" verwendet werden. Als grafische Darstellung möchte man jedoch im Regelfall die entsprechende Funktion y(x) in einem kartesischen Koordinatensystem sehen.

Dies wird realisiert, indem man vor der Eingabe der Funktion die unabhängige Variable auf phi umstellt, dann die Funktion r(phi) eingibt und zusätzlich die beiden Funktionen x = r*cos(phi) und y = r*sin(phi) definiert (Umrechnung von Polarkoordinaten auf kartesische Koordinaten). Diese beiden Funktionen werden dann als Parameterdarstellung einer Funktion interpretiert: Vor der Auswahl "Grafische Darstellung" wird die Funktion x als "Abszisse für Grafik" eingestellt (Anklicken des entsprechenden "Radiobuttons"). Das "Häkchen" vor der Funktion r(phi) wird gelöscht, weil die Grafik ja ersatzweise für y(x) abgerufen wird. Rechts sieht man dies und die zugehörige Graphik für die durch r = 1.8 sin (3 t)  definierte Funktion.

Ausführlichere Informationen zur Darstellung von Funktionen, die in Polarkoordinaten gegeben sind, und ein weiteres Beispiel findet man hier.

Radian/Grad, siehe Winkelfunktionen bzw. Arcusfunktionen.

Verwalten von Funktionen Reset all (nebenstehend zu sehender Button mit der entsprechenden Aufschrift) löscht alle definierten Konstanten, Funktionen und Formeln und stellt den Zustand beim Programmstart wieder her.

Skalierung der Koordinatenschsen Die Skalierung der Koordinatenachsen wirkt sich ausschließlich auf die grafische Darstellung der Funktionen aus. Weil in den meisten Fällen die beiden Achsen mit Größen unterschiedlicher Dimension belegt sind (Weg-Zeit-Gesetz, Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, ...), ist die anisotrope Skalierung der Achsen als Standard eingestellt (nebenstehendes Bild), so dass die Zeichenfläche in beiden Richtungen optimal genutzt wird.

Wenn eine isotrope Skalierung gewünscht wird (zum Beispiel zur Darstellung einer Bahnkurve), muss diese Einstellung geändert werden.

Standardfunktionen werden auf ein Argument angewendet, das der Funktionsbezeichnung in Klammern folgen muss, zum Beispiel: sin(pi/2). Das Argument darf ein arithmetischer Ausdruck sein. Hier findet man eine komplette Liste aller Standardfunktionen.

Funktionen swon und swoff: Die "Anschaltfunktion" swon(x) ("Switch on") und die "Abschaltfunktion" swoff(x) ("Switch off") liefern in Abhängigkeit vom Argument x die Werte 0 oder 1, swon(x) ist für x < 0 gleich 0, ansonsten 1, swoff(x) ist für x < 0 gleich 1, ansonsten 0. Der "Schaltvorgang" erfolgt also, wenn das Argument den Wert 0 hat. Wenn an der Stelle x1 "geschaltet" werden soll, muss als Argument dementsprechend x−x1 eingesetzt werden. Diese beiden Funktionen sind vorgesehen, um Funktionen, die nur bereichsweise definiert werden können (typische Beispiele: Biegelinien, Momenten- und Querkraftverläufe) innerhalb des Gültigkeitsbereichs "anschalten" und außerhalb "abschalten" zu können. Ein anschauliches Beispiel findet man auf der Seite "Funktionen, die bereichsweise definiert sind".

Einem Syntaxcheck werden alle Benutzer-Eingaben unterzogen. Er ist dreistufig:
1.) Ist das Gleichheitszeichen als Trennzeichen vorhanden?
2.) Steht links vom Gleichheitszeichen ein korrekter Name?
3.) Steht rechts vom Gleichheitszeichen ein zulässiger arithmetischer Ausdruck mit korrekter Syntax?
Die Reaktionen beim Entdecken eines Fehlers werden mit mehreren Beispielen hier beschrieben.

Unabhängige Variable Es existiert immer genau eine Unabhängige Variable (rechts sieht man die Standardeinstellung beim Programmstart). Ihr Name darf beliebig geändert werden, ebenso der eingestellte Wert, der ausschließlich für den Syntaxcheck bei der Eingabe von Funktionen genutzt wird. Im Regelfall ist die unabhängige Variable für die graphische Darstellung von Funktionen die Abszissenachse (Standardeinstellung: x-Achse). Dies sollte nur geändert werden für die graphische Darstellung von Funktionen, die in Parameterdarstellung oder mit Polarkoordinaten definiert wurden.

Verwalten von Funktionen Verschieben einer Funktion (nebenstehend zu sehender Button mit der Aufschrift "Funktion ↑") darf nur angeklickt werden, wenn genau eine Funktion (mit dem "Häkchen") gekennzeichnet ist. Diese wird dann in der Liste der Funktionen um eine Postion nach oben verschoben. Diese Option kann nützlich sein, weil die Reihenfolge der Funktionen eine Rolle spielt (Funktionsdefinitionen dürfen nur VORAB definierte Funktionen enthalten), siehe Hilfe-Eintrag Funktionensatz.

Bereich für Wertetabelle Wertetabelle ist eine mögliche Auswahl in der Auswahlliste "Aktionen mit Funktionen" (kann mit Nullstellensuche und Extremwertberechnungen gekoppelt werden). Der Bereich wird festgelegt durch Anfangs- und Endwert der unabhängigen Variablen und die Anzahl der Schritte nSteps (es werden nSteps+1 Zeilen ausgegeben, rechts sieht man die Standardeinstellung für die Ausgabe). Die Wertetabelle besteht immer aus einer Spalte mit den Werten der unabhängigen Variablen und jeweils einer weiteren Spalte für alle Funktionen, die in der Anzeige des Funktionenspeichers (unterer Teil des mittleren Bildschirmbereichs) mit einem "Häkchen" gekennzeichnet sind.

Einstellung Radian/Grad Die Argumente der Winkelfunktionen sin, cos, tan und cot können in Grad (°) oder Radian (Bogenmaß) interpretiert werden. Dies wird über die Radiobuttons links oben eingestellt (Standardeinstellung ist Radian, siehe nebenstehendes Bild).

Zahlen können (optional) ein Vorzeichen, einen Dezimalpunkt und einen Exponenten (gegebenenfalls auch mit einem Vorzeichen) enthalten, Beispiele korrekter Zahlen:     -2.1E-5     5120     .3125     0.001

ZAHLEN können (optional) ein Vorzeichen, einen Dezimalpunkt und einen Exponenten (gegebenenfalls auch mit einem Vorzeichen) enthalten, Beispiele korrekter Zahlen:

-2.1E-5     5120     .3125     0.001
Es existiert für die Verwendung in Funktionen immer genau eine unabhängige Variable mit einem Namen und einem aktuellen Wert, der nur für den Syntaxcheck bei der Eingabe von Funktionen verwendet wird (Voreinstellung: x = 0, Name und Wert dürfen beliebig geändert werden).
Definition einer Konstanten mit der Syntax

Name = Arithmetischer Ausdruck

Konstanten werden berechnet und mit Namen und Wert im Konstantenspeicher für die weitere Verwendung bereitgestellt.

Beispiel: k1 = pi^2 / 4
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