Funktionensatz

Im Programm "Funktionen analysieren" (zu finden unter "TM-interaktiv") können beliebig viele Funktionen definiert werden, und jede Funktion darf in ihrer Definition andere Funktionsnamen enthalten. Dabei ist auf die Reihenfolge zu achten: In einer Funktionsdefinition dürfen nur die Namen von VORAB definierten Funktionen enthalten sein.

Auf diese Weise können komplizierte Funktionsdefinitionen vermieden werden, indem ein FUNKTIONENSATZ nach der oben beschriebenen Regel definiert wird, dessen letzte Funktion die eigentlich interessierende ist, die dann auch nur zur Auswertung vorgesehen wird. Dies wird an dem nachfolgenden Beispiel demonstriert:

Stab wird in Feder eingehängt

Beispiel: Im Kapitel "Elastische Lager" des Buchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird die nebenstehend skizzierte Aufgabe behandelt: Ein Stab (Masse m, Länge l) wird in eine Feder (Federzahl c, Länge der entspannten Feder l0) eingehängt. Gefragt wird nach den möglichen Gleichgewichtslagen, die durch den Winkel β beschrieben werden sollen. Für die physikalischen Eigenschaften von Stab und Feder sollen die Werte cl/(mg) = 1 bzw. l0/l = 1 angenommen werden.

Die Gleichgewichtsbedingung (Summe aller Momente um das Lager) führt auf die Funktion

Gleichgewichtsbedingung

deren Nullstellen die gesuchten Gleichgewichtslagen beschreiben.

Geometrische Zusammenhänge

Es sieht natürlich nur so aus, als würde in f(β) die Variable β gar nicht vorkommen. Sie steckt in den geometrischen Beziehungen, die nebenstehend zusammengestellt sind.

Man könnte diese Beziehungen nun in f(β) einsetzen, so dass diese Funktion neben β nur noch die gegebenen Größen enthält. Das ist aber mühsam und fehlerträchtig. Deshalb werden alle Beziehungen als Funktionensatz aufgefasst, wobei auf die Reihenfolge geachtet werden muss: Jede Funktion darf neben den gegebenen Größen und der Variablen β nur vorab definierte Funktionen enthalten.

Die geometrischen Beziehungen sind schon in diesem Sinne geordnet und müssen nur durch f(β) als letzte Funktion ergänzt werden. Als Funktionsbezeichner werden "sprechende Namen" eingeführt: adl ("a durch l"), bdl ("b durch l"), lsdl ("l-Stern durch l"), sd ("Sinus delta"), cd ("Cosinus delta"), Fcdmg ("FC durch mg").

Zunächst werden die beiden gegebenen Größen als Konstanten cldmg = 1 ("cl durch mg") bzw. l0dl = 1 ("l0 durch l") definiert. Die "unabhängige Variable" wird in beta geändert, danach werden die Funktionen in der oben genannten Reihenfolge (beginnend mit adl, endend mit f) eingegeben.

Einstellen des Bereichs

Weil mit β = 0°...360° der gesamte interessierende Bereich erfasst wird, ändert man betaAnf auf 0 und betaEnd auf 360 und muss, wenn in Grad gerechnet werden soll, oben links auch noch von Radian auf Grad umstellen.

Weil nur die Ergebnisse für die Funktion f interessieren, sollte man alle "Häkchen" vor den anderen Funktionen entfernen, um nicht auch für alle diese Funktionen die Nullstellensuche durchführen zu lassen. Schließlich wählt man unter "Aktionen mit Funktionen" vorsichtshalber "Grafik, spezielle Punkte" aus (natürlich würde für diese Aufgabe auch die Auswahl "Nullstellen" genügen).

Der Bildschirm müsste danach folgendermaßen aussehen:

Ergebnis

Für Interessenten: Es gibt tatsächlich vier mögliche Gleichgewichtslagen, von denen allerdings nur zwei stabil sind. Die kleinen Bildchen unten zeigen symbolisch die Gleichgewichtslagen: Stabil sind nur die Lagen β01 und β03. Man kann sich gut vorstellen, dass die stark gedehnte bzw. stark zusammengedrückte Feder bei den beiden anderen Gleichgewichtslagen dafür sorgt, dass die geringste Abweichung von dieser Lage sofort zum Übergang in eine der stabilen Lagen führt.

Stabile und instabile Gleichgewichtslagen