Nullstellen

Die Nullstellensuche mit dem Programm "Funktionen analysieren" (zu finden unter "TM-interaktiv") kann für ein oder mehrere Funktionen gleichzeitig durchgeführt werden. Sie kann gekoppelt werden mit der Ausgabe einer Wertetabelle, der Suche nach Extremwerten und über das Angebot "Grafik, spezielle Punkte" mit einer Grafik und der Extremwertberechnung.

Starteinstellung

Die Nullstellensuche erfolgt numerisch. Der eingestellte Bereich (rechts sieht man die Voreinstellung beim Programmstart) wird mit nSteps äquidistanten Schritten nach einem Vorzeichenwechsel durchsucht. Wird ein Vorzeichenwechsel gefunden, wird die Nullstelle iterativ ermittelt.

Achtung: Entsprechend der Suchstrategie können Nullstellen, bei denen kein Vorzeichenwechsel eintritt, nicht gefunden werden (z. B. wird die Nullstelle bei x = 0 der Funktion y = x2 nicht gefunden). Wenn auch diese speziellen Punkte gefunden werden sollen, sollte das Angebot "Nullstellen und Extremwerte" genutzt werden. Außerdem ist es immer empfehlenswert, auch die graphische Darstellung der Funktion anzufordern.

Seilkurve

Beispiel: Im Kapitel "Seilstatik, Kettenlinien, Stützlinien" des Buchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird gezeigt, dass für die Berechnung der Seilline unter Eigengewicht (nebenstehende Skizze, gegeben: xB = 0,8; yB = 0,2) zunächst der so genannte "Horizontalzug" FSH ermittelt werden muss, der sich als Nullstelle der Funktion

Bestimmungsgleichung für Horizontalzug

ergibt (hier findet man die komplette Rechnung für diese Aufgabe). Diese Nullstelle, die aus physikalischen Gründen nur positiv sein kann, wird nachfolgend berechnet. Nachdem zunächst die beiden Konstanten xB = 0.8 und yB = 0.2 definiert wurden und die unabhängige Variable in FSH umbenannt und ihr Wert auf FSH = 1 geändert wurde (weil der Syntaxcheck bei der Eingabe der Funktion wegen der Division durch FSH einen Fehler melden würde), wurde die Funktion definiert. Weil nur positive Ergebnisse sinnvoll sind, wurde die Untergrenze des zu untersuchenden Bereichs auf FSHanf = 0 geändert.

Der linke Teil des Bildschirms sieht dann wie folgt aus, und aus dem Angebot "Aktionen mit Funktionen" wird "Grafik, spezielle Punkte" gewählt:

Rechnung starten

 

Ergebnis

Nebenstehend sieht man das Ergebnis. Die Grafik zeigt, dass es nur eine Nullstelle gibt (vorsichtshalber könnte man noch eine Grafik über einen erweiterten Bereich anfordern). Die Tabelle unten zeigt, dass es nur einen speziellen Punkt im untersuchten Bereich gibt, die gesuchte Nullstelle.

Die Ausschrift "Achtung! Bei der Berechnung eines Funktionswertes ist ein Fehler aufgetreten" weist auf die Polstelle bei x = 0 hin.

Es existiert für die Verwendung in Funktionen immer genau eine unabhängige Variable mit einem Namen und einem aktuellen Wert, der nur für den Syntaxcheck bei der Eingabe von Funktionen verwendet wird (Voreinstellung: x = 0, Name und Wert dürfen beliebig geändert werden).
Definition einer Konstanten mit der Syntax

Name = Arithmetischer Ausdruck

Konstanten werden berechnet und mit Namen und Wert im Konstantenspeicher für die weitere Verwendung bereitgestellt.

Beispiel: k1 = pi^2 / 4
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