Funktionen in Polarkoordinaten

Polarkoordinaten

In Polarkoordinaten wird die Lage eines Punktes beschrieben durch eine Abstandskoordinate r von einem festen Bezugspunkt O und eine Winkelkoordinate φ bezüglich einer festen Bezugsgeraden: r = r(φ).

Die nebenstehende Skizze zeigt, dass ein kartesisches Koordinatensystem immer so gelegt werden kann, dass folgender Zusammenhang zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten besteht:

x = r cos φ   ;   y = r sin φ  .

Im Allgemeinen möchte man eine in Polarkoordinaten gegebene Funktion r(φ) in einem kartesischen Koordinatensystem darstellen. Die Strategie dafür ist einfach: Man wählt phi als unabhängige Variable und definiert eine Funktion r in Abhängigkeit von phi. Dann definiert man zusätzlich die beiden Funktionen x = r * cos(phi) und y = r * sin(phi) und fasst diese beiden Funktionen als Parameterdarstellung) auf und stellt y in Abhängigkeit von x dar, indem man x als "Abszisse für Grafik" einstellt.

Beispiel: Die in Polarkoordinaten definierte Funktion

r = a (1 - cos φ)

ist eine so genannte Kardioide. Sie soll für a = 3 mit dem Programm "Funktionen analysieren" (zu finden unter "TM-interaktiv") grafisch dargestellt werden.

Nachdem zunächst die Konstante a = 3 definiert wurde und die unabhängige Variable auf phi umbenannt wurde, wurden die Funktion r = a * (1 - cos(phi)), x = r * cos(phi) und y = r * sin(phi) definiert. Die Grenzen der unabhängigen Variablen wurden auf phiAnf = 0 bzw. phiEnd = 2*pi geändert (kann genau in dieser Form eingegeben werden, das Programm berechnet automatisch den Zahlenwert).

Bei einer Kurve in Polarkoordinaten sollte die Skalierung der beiden Richtungen immer auf "isotrop" (gleiche Skalierung beider Achsen) eingestellt werden.

Wichtig: Weil die Funktion y(x) dargestellt werden soll, muss als "Abszisse für Grafik" die Funktion x eingestellt werden. Und weil dann die Funktion r nicht auch noch dargestellt werden soll, wird das "Häkchen" vor dieser Funktion entfernt. Der linke Teil des Bildschirms sieht dann so aus:

Alles ist eingegeben und eingestellt

 

Ergebnis

Aus dem Angebot "Aktionen mit Funktionen:" kann nun "Grafische Darstellung" gewählt werden. Nebenstehend sieht man das Ergebnis.

Es existiert für die Verwendung in Funktionen immer genau eine unabhängige Variable mit einem Namen und einem aktuellen Wert, der nur für den Syntaxcheck bei der Eingabe von Funktionen verwendet wird (Voreinstellung: x = 0, Name und Wert dürfen beliebig geändert werden).
Definition einer Konstanten mit der Syntax

Name = Arithmetischer Ausdruck

Konstanten werden berechnet und mit Namen und Wert im Konstantenspeicher für die weitere Verwendung bereitgestellt.

Beispiel: k1 = pi^2 / 4
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