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Definition

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch genau die beiden folgenden natürlichen Zahlen ohne Rest teilbar ist, durch 1 und durch sich selbst.

Die Primzahlen gehören seit Jahrtausenden zu den beliebtesten Themen der Mathematiker. Natürlich ist auch das WWW voll von unzähligen Seiten zu diesem Thema, weil es zahlreiche ungelöste Probleme und immer neue Rekorde (und auch sinnvolle praktische Anwendungen) zu vermelden gibt.

Nach der oben gegebenen Definition ist die 1 keine Primzahl (sie ist nur durch eine natürliche Zahl teilbar). Somit ist die 2 die kleinste (und die einzige gerade) Primzahl, und die kleinsten Primzahlen sind:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 ...

Von den vielen interessanten Themen, die mit Primzahlen zusammenhängen, soll hier eine kleine Auswahl vorgestellt werden mit Links auf Internetsites, die sich mit den Themen intensiver befassen.

Die "größte Primzahl"

Es gibt sie nicht, die Menge der Primzahlen ist unendlich. Diese Aussage war wohl schon Euklid bekannt, auf den die folgende Überlegung zurückgehen soll: Wenn es eine größte Primzahl pmax geben würde, könnte man das Produkt aller bekannten Primzahlen

p = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · ... · pmax

bilden. Die Zahl p+1 wäre dann durch keine der bekannten Primzahlen teilbar (es würde jeweils der Rest 1 entstehen). Das bedeutet, dass entweder die Zahl p+1 selbst eine Primzahl oder aber das Produkt bisher unbekannter Primzahlen sein müsste. In jedem Fall existiert also mindestens eine Primzahl, die größer als pmax ist, und weil man dann die gleiche Überlegung wieder anstellen könnte, gibt es unendlich viele Primzahlen.

Diese Tatsache regte natürlich den Ehrgeiz an, die jeweils "größte bekannte Primzahl" zu finden. Der gegenwärtige Rekord (Stand: Januar 2016):

274 207 281 − 1 .

Die regelmäßige Verbesserung dieses Rekords (in den letzten 20 Jahren wurden 14 neue Rekorde gemeldet) basiert in erster Linie auf einem sehr interessanten Projekt: GIMPS ("Great Internet Mersenne Prime Search") vereinigt weltweit eine große Gemeinde von Teilnehmern, die bereit sind, sich mit einer frei verfügbare Software an den aufwendigen Berechnungen zu beteiligen.

Primzahl-Pärchen (Primzahl-Zwillinge)

Ein "Primzahl-Pärchen" sind zwei Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt, z. B.: 11 und 13, 17 und 19, 29 und 31, 41 und 43, 59 und 61, 71 und 73 ... "Ob auch die Menge der Primzahl-Pärchen unendlich ist, konnte bisher weder bewiesen noch widerlegt werden", ist in den meisten Publikationen zu diesem Thema zu lesen.

Im Jahr 2003 wurde von den Mathematikern Goldston und Yildirim eine Arbeit vorgelegt, aus der geschlussfolgert werden konnte, dass es kein größtes Primzahl-Pärchen gibt. In dieser Arbeit wurde jedoch 2005 ein Fehler nachgewiesen, der angeblich korrigiert werden konnte. Im Internet findet man bisher jedoch keine klare Stellungnahme zu dieser Frage, und deshalb hält sich der Autor dieser Zeilen aus dem Problem raus.

Diese offene Frage führte selbstverständlich auch zu einer Rekordjagd nach dem jeweils "größten bekannten Primzahl-Pärchen". Der gegenwärtige Rekord ist nach meiner Information das 200.700-stellige Primzahl-Pärchen

3756801695685 · 2 666669 − 1   und   3756801695685 · 2 666669 + 1

(gefunden im Jahr 2011). Eine Zusammenstellung der Rekorde der letzten Jahre findet man hier.

Interessant sind allerdings zwei bewiesene Eigenschaften von Primzahlen und Primzahl-Pärchen: Während die Summe aller reziproken Primzahlen

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/23 + ...

divergiert (allerdings fast unvorstellbar langsam), wurde schon 1919 von Viggo Brun bewiesen, dass die Summe aller reziproken Primzahl-Pärchen

B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + (1/29 + 1/31) + ...

konvergiert. Für die so genannte Brunsche Konstante gilt:

B ≈ 1,902160583104 .

Weitere Informationen hierzu und eine ganze Reihe interessanter Links findet man unter "Wolfram MathWorld" auf der Seite "Brun's Constant".

Primzahlpalindrome

Eine natürliche Zahl mit den beiden Eigenschaften "Primzahl" und "Palindrom" ist ein "Primzahlpalindrom" ("Prim-Palindrom"). Ob die Menge der Primzahlpalindrome unendlich ist, konnte bisher weder bewiesen noch widerlegt werden.

Diese offene Frage lässt nur die Aussage über das "größte bekannte Primzahlpalindrom" zu. Der gegenwärtige Rekord ist nach meiner Information die Zahl

10 474500 + 999 · 10 237249 + 1 .

Primzahlpalindrom als Nummer des Hotelzimmers

Diese Zahl wurde 2014 gefunden. Dass diese Zahl ein Palindrom ist, kann man leicht nachvollziehen: Die 1 an der Spitze der 474.501-ziffrigen Zahl findet ihr Spiegelbild in der 1 am Ende, die übrigen Ziffern sind Nullen bis auf die spiegelbildliche Ziffernfolge 999 in der "Mitte". Dass es eine Primzahl ist, wird auf der Seite "Palindromic Prime" behauptet. Eine Zusammenstellung der größten bekannten Primzahlpalindrome findet man hier.

Während die Eigenschaft "Primzahl" für eine natürliche Zahl in jedem beliebigen Zahlensystem gilt, bezieht sich die Eigenschaft "Palindrom" immer auf ein ganz bestimmtes System. Interessant ist, dass die größten bekannten Primzahlen alle so genannte Mersenne-Zahlen der Form 2p−1 und damit im Dualsystem Palindrome sind (p Einsen), natürlich auch die oben angegebene "größte bekannte Primzahl".

Goldbachsche Vermutung

Auf einen Brief des preußischen Mathematikers Christian Goldbach an Leonhard Euler geht folgendes Problem zurück:

Jede gerade Zahl größer als 5 lässt sich als Summe zweier Primzahlen aufschreiben. Diese Behauptung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt worden.

Die beiden folgenden Beispiele

12 = 5 + 7     und       50 = 3 + 47 = 7 + 43 = 13 + 37 = 19 + 31

verdeutlichen schon, dass bei größeren Zahlen die Wahrscheinlichkeit wächst, eine Lösung zu finden, weil es mehr Möglichkeiten gibt, die Zahl aus zwei Summanden zusammenzusetzen. Es ist also mehr als wahrscheinlich, dass die Goldbachsche Vermutung richtig ist, zumal der Mathematiker Jörg Richstein von der Universität Gießen 1998 mit aufwendiger Computer-Rechnung für alle geraden Zahlen bis 4 · 1014 Lösungen gefunden hat.

Aber ein Beweis ist das natürlich nicht. Dieser fehlt bis heute, obwohl ein britischer Verlag ein Preisgeld von 1 Million Dollar dafür ausgelobt hatte.

Kryptologie (Ver- und Entschlüsselung von Texten)

Über viele Jahrhunderte waren die Primzahlen "nur" eines der beliebtesten Spielobjekte der Zahlentheoretiker. Seit einigen Jahren finden sie eine immer wichtiger werdende Anwendung in der Kryptologie:

Es werden zwei sehr große Primzahlen erzeugt (in der Regel mehr als 150-stellig, dazu brauchen moderne Computer nur wenige Sekunden). Diese dienen als streng geheime "Private Keys". Ihr Produkt kann als sogenannter "Public Key" durchaus bekannt gemacht werden, weil die Primzahlzerlegung einer so großen Zahl (und damit das Ermitteln der "Private Keys") auch mit den schnellsten Computern in angemessener Zeit nahezu ausgeschlossen ist.

Wie unter Verwendung dieser Schlüssel spziell das gegenwärtig wohl meistverwendete RSA-Verfahren besonders sicher arbeitet (und zum Beispiel auch das wohl größte Sicherheitsproblem - den Transport der Schlüssel vom Sender zum Empfänger - umgeht), wird z. B. auf der Internet-Site "Moderne asymmetrische Verfahren" beschrieben.

Kontakt mit "Außerirdischen"

Ob es sie gibt, ist umstritten. Dass es Leben auch außerhalb unseres Planeten gibt, ist eher wahrscheinlich, die Suche danach ist schon deshalb schwierig, weil die Frage "Was ist Leben?" bisher auch keine allgemein anerkannte Definition gefunden hat.

Von besonderem Interesse ist natürlich die Frage nach der Existenz "intelligenter Wesen" außerhalb der Erde. Die Suche danach beschränkt sich bisher darauf, mit gewaltigen Teleskopen in den Weltraum hineinzulauschen, ob es Signale gibt, die auf intelligente Absender schließen lassen.

Wie aber kann man an den eingefangenen Signalen erkennen, dass es eine Botschaft sein soll? Die folgende Überlegung ist naheliegend: Wenn es intelligente Lebewesen gibt, die in der Lage sind, solche Signale auszusenden, dann weiß man zwar fast noch nichts über diese Lebewesen, aber dass sie über mathematische Fähigkeiten verfügen, darf man mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit annehmen.

Welches Zahlensystem in ihrer Mathematik bevorzugt wird (es ist eher unwahrscheinlich, dass es unser Dezimalsystem ist), kann nicht prognostiziert werden, aber ganz gewiss wird das Dualsystem (die "Mutter aller Zahlensysteme") bekannt sein. Und weil die Folge der Primzahlen in jedem Zahlensystem gleich ist und weil Dualzahlen besonders einfach zu senden sind, würde eine Primzahlfolge in Dualzahlen ein sicheres Indiz für einen intelligenten Absender sein. Wenn die Teleskope eines Tages also eine Botschaft der Form

10 11 101 111 1011 1101 10001 10011 10111 11101 11111 100101 101001 101011 101111 110101 111011 111101 ...

empfangen sollten, können wir sicher sein, dass wir nicht allein im Weltraum sind.